파푸스의 중선정리 (아폴로니우스의 정리) 완벽 마스터: 공식, 증명, 예제

 

파푸스의 중선정리, 아직도 헷갈리시나요? 삼각형의 두 변과 중선 사이의 신비한 관계! 아폴로니우스의 정리라고도 불리는 이 공식을 5분 만에 완벽하게 증명하고 이해시켜 드립니다.

 

📋 목차

• 파푸스의 중선정리란 무엇인가? (feat. 아폴로니우스)
• 핵심 공식: $AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$
• 좌표평면을 이용한 5분 순삭 증명 🚀
• 실전 예제: 중선정리는 언제 사용할까?
• 마무리: 핵심 요약 카드
• 자주 묻는 질문 (FAQ)

 

수학 공부, 특히 도형 파트를 공부하다 보면 우리를 괴롭히는(?) 다양한 정리들이 있습니다. 그중에서도 '파푸스의 중선정리'는 이름부터 낯설지만, 시험에는 단골로 등장하는 아주 중요한 공식이죠.

"변의 제곱은 왜 이렇게 많이 나오고, 도대체 2는 왜 곱하는 거야?" 🤯 라고 생각해 본 적 있다면, 오늘 이 글을 끝까지 읽어주세요! 파푸스의 중선정리가 무엇인지, 그리고 왜 그런 공식이 나오는지 아주 명쾌하게 정리해 드리겠습니다. 😊

 

파푸스의 중선정리란 무엇인가? (feat. 아폴로니우스) 🤔

파푸스의 중선정리(Pappus's Median Theorem)는 삼각형의 세 꼭짓점 중 하나에서 마주 보는 변의 중점(무게중심 아님!)까지 이은 선, 즉 **'중선(Median)'**과 관련된 정리입니다.

이 정리는 삼각형의 두 변의 길이와, 그 두 변 사이의 꼭짓점에서 그은 중선의 길이, 그리고 나머지 한 변의 절반 길이 사이에 성립하는 놀라운 관계를 보여줍니다.

💡 TMI: 사실 아폴로니우스의 정리예요!
이 정리는 고대 그리스의 수학자 파푸스가 발견했다고 알려져 '파푸스의 정리'라고 불리지만, 사실 그보다 훨씬 이전에 활동했던 아폴로니우스의 저서에도 등장합니다. 그래서 '아폴로니우스의 정리'라고 부르는 것이 더 정확할 수 있습니다. 하지만 우리나라 교과서에서는 통상적으로 '파푸스의 중선정리'로 부르고 있답니다.

 

핵심 공식: $AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$ 📊

자, 그럼 가장 중요한 공식을 만나볼 시간입니다. 그림과 함께 보면 훨씬 이해하기 쉬워요!

위 그림과 같이 $\triangle ABC$가 있고, 꼭짓점 $A$에서 변 $BC$의 중점 $M$에 중선 $AM$을 그었다고 해봅시다. 이때 다음 공식이 성립합니다.

📝 파푸스의 중선정리 공식

$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

말로 풀어보면 이렇습니다.

"삼각형에서 (중선을 그은 꼭짓점을 감싸는) 두 변의 길이의 제곱의 합( $AB^2 + AC^2$ )은, 중선의 제곱과 밑변의 절반의 제곱의 합( $AM^2 + BM^2$ )에 2를 곱한 값과 같다."

(물론 $BM$의 길이는 $CM$의 길이와 같으므로, $BM^2$ 대신 $CM^2$을 사용해도 공식은 성립합니다!)

 

좌표평면을 이용한 5분 순삭 증명 🚀

"공식은 알겠는데, 저게 왜 성립하죠?"라고 궁금해하시는 분들을 위해 가장 쉽고 깔끔한 증명 방법을 소개합니다. 바로 '좌표평면'을 이용하는 것입니다.

[증명] 좌표평면으로 증명하기

1단계: 삼각형을 좌표평면에 올리기

증명을 쉽게 하기 위해, 변 $BC$의 중점 $M$을 원점 $(0, 0)$에 두겠습니다. 그리고 변 $BC$를 $x$축 위에 놓습니다.

2단계: 꼭짓점 좌표 설정하기

• $M$이 원점이므로 $M = (0, 0)$
• $M$이 $BC$의 중점이므로, $BM = CM$입니다. 이 길이를 $c$라고 하면,
• $B = (-c, 0)$, $C = (c, 0)$
• 꼭짓점 $A$는 $x, y$축 위의 아무 점이나 가능하므로 $A = (a, b)$로 둡니다.

3단계: 공식의 좌변 ( $AB^2 + AC^2$ ) 계산하기

두 점 사이의 거리 공식을 이용합니다. ($거리^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$)

$AB^2 = (a - (-c))^2 + (b - 0)^2 = (a+c)^2 + b^2 = a^2 + 2ac + c^2 + b^2$

$AC^2 = (a - c)^2 + (b - 0)^2 = (a-c)^2 + b^2 = a^2 - 2ac + c^2 + b^2$

∴ $AB^2 + AC^2$ $= (a^2 + 2ac + c^2 + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2 + b^2)$

= $2a^2 + 2b^2 + 2c^2$

4단계: 공식의 우변 ( $2(AM^2 + BM^2)$ ) 계산하기

$AM^2 = (a - 0)^2 + (b - 0)^2 = a^2 + b^2$

$BM^2 = (-c - 0)^2 + (0 - 0)^2 = c^2$

∴ $2(AM^2 + BM^2)$ $= 2 ( (a^2 + b^2) + c^2 )$

= $2a^2 + 2b^2 + 2c^2$

5단계: 결론
좌변과 우변의 계산 결과가 $2a^2 + 2b^2 + 2c^2$로 똑같습니다. 따라서 공식은 성립합니다! (증명 끝)

 

실전 예제: 중선정리는 언제 사용할까? 📚

이 공식은 삼각형의 세 변의 길이를 알 때 **중선의 길이를 구하거나**, 혹은 두 변과 중선의 길이를 알 때 **나머지 한 변의 길이를 구할 때** 아주 유용하게 사용됩니다.

예제 문제 📖

$\triangle ABC$에서 $AB = 7$, $AC = 9$, $BC = 10$ 일 때, 꼭짓점 $A$에서 변 $BC$에 내린 중선 $AM$의 길이를 구하세요.

풀이 과정

• 공식: $AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$
• $M$은 $BC$의 중점이므로, $BM = \frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$
• 우리가 아는 값들을 공식에 대입합니다.

1) $7^2 + 9^2 = 2(AM^2 + 5^2)$

2) $49 + 81 = 2(AM^2 + 25)$

3) $130 = 2(AM^2 + 25)$

4) 양변을 2로 나누면: $65 = AM^2 + 25$

5) $AM^2 = 65 - 25 = 40$

최종 결과

- $AM = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
→ 따라서 중선 $AM$의 길이는 $2\sqrt{10}$ 입니다.

 

마무리: 핵심 요약 카드 📝

오늘 배운 파푸스의 중선정리, 핵심만 다시 정리해 볼까요?

💡

파푸스 중선정리 요약

✨ 정의: 삼각형의 두 변의 제곱의 합과 중선 사이의 관계를 나타내는 정리

🧮 공식:

$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

👩‍💻 증명: 좌표평면의 원점에 중점 $M$을 놓고 계산하면 가장 쉬움!

📊 활용: 세 변의 길이를 알 때 중선의 길이를 구하는 데 사용

"양쪽 제곱의 합 = (중선 제곱 + 밑변 반 제곱)의 2배"

좌표평면을 이용한 증명 방법만 한 번 따라 해보면 공식이 헷갈릴 때마다 스스로 유도해낼 수 있을 거예요! 더 궁금한 점이 있다면 댓글로 남겨주세요~ 😊

자주 묻는 질문 (FAQ) ❓

Q: 파푸스의 중선정리와 무게중심은 무슨 관계인가요?

A: 좋은 질문입니다! 삼각형의 '무게중심(G)'은 세 '중선'의 교점입니다. 그리고 무게중심은 중선을 2:1로 내분하죠 ( $AG : GM = 2 : 1$ ). 따라서 파푸스의 중선정리로 중선 $AM$의 길이를 구한 뒤, 이 길이를 이용해 $AG$나 $GM$의 길이를 계산하는 응용 문제로 자주 출제됩니다.

Q: $M$을 원점으로 두지 않고 $B$나 $C$를 원점으로 두고 증명해도 되나요?

A: 네, 가능합니다! 하지만 $B$를 원점 $(0, 0)$으로 두면, $C$는 $(2c, 0)$, $M$은 $(c, 0)$, $A$는 $(a, b)$가 됩니다. 이렇게 해도 증명은 되지만, 계산 과정에서 $M$을 원점으로 둘 때보다 조금 더 복잡해집니다. $M$을 원점으로 두는 것이 가장 깔끔한 증명 방법입니다.

Q: '아폴로니우스의 원'과 '아폴로니우스의 정리'는 같은 건가요?

A: 다릅니다! '아폴로니우스의 정리'가 바로 오늘 배운 '파푸스의 중선정리'입니다. 반면 '아폴로니우스의 원'은 "평면 위의 두 정점 $A, B$로부터의 거리의 비가 $m:n$ ($m \neq n$)으로 일정한 점 $P$의 자취는 원이 된다"는 정리입니다. 이름이 같아서 헷갈리기 쉬우니 주의해야 합니다.